La Relativité restreinte d'Einstein

LES TROUS NOIRS

VI La Relativité Générale d'Einstein

I Relativité Restreinte :

1) La théorie

Théorie formulée par Einstein en 1905, qui part de deux postulats :

Celui de la constance de la vitesse de la lumière pour tous les référentiels galiléens. Par exemple, on mesurera la même vitesse de la lumière (c = 299 792 458 km/s) à bord d’un vaisseau spatial se déplaçant à 200 000 km/s que sur Terre. (La véracité de ce postulat a pu être vérifiée par l’expérience observationnelle).

Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans les référentiels galiléens. Il avait déjà été constaté que les lois de la mécanique gardaient leur valeur dans les systèmes de coordonnées dits galiléens; Einstein généralise cette hypothèse en l’appliquant à toutes les lois de la physique (mécaniques, électrodymaniques et optiques).

Conséquence : Deux référentiels différents, s’ils mesurent la même vitesse de la lumière (c), mesureront un temps et des distances différentes. Il n’existe plus de temps absolu, car deux événements simultanés sur un référentiel ne le seront plus sur un autre. L’espace lui-même n’est plus absolu : la mesure d’une règle à bord d’un vaisseau à grande vitesse ne sera pas la même que sur la Terre. Tout ceci peut être compris à travers des « expériences de pensée » chères à Einstein, que vous pouvez aborder en cliquant ici (lien temporairement indisponible).

Théorie : Concrètement, Einstein propose des équations permettant de passer d’un système de coordonnées (référentiel) à un autre, dans le cas où les deux référentiels sont en mouvement rectiligne uniforme l’un à l’autre. On appelle ce changement de coordonnées la transformation de Lorentz.

Ceci, rappelons-le, dans le cas où un système de coordonnées S’ de coordonnées (x’, y’,z’,t’) se déplace selon l’axe des x à une vitesse v par rapport au système S de coordonnées (x, y, z, t), tel qu’indiqué par le schéma suivant :

Référentiels

2) La pratique : démonstration des formules

Si ces équations ne vous sont pas familières et que vous souhaitez mieux les comprendre, en voici la démonstration détaillée :

Postulats :

La vitesse de la lumière (c) est une constante pour tous les référentiels galiléens quelle que soit leur vitesse relative;

La mesure, dans le référentiel S', d'une règle de mesure unité située en S, sera la même que la mesure, effectuée en S, d'une règle de mesure unité située en S'.

D'après la première hypothèse, on a, pour un signal lumineux qui se propage le long de l'axe des x,

x = ct

soit

x - ct = 0 (1)

Et de même pour le référentiel S' :

x' - ct' = 0 (2)

Les points spatio-temporels qui satisfont à (1) doivent satisfaire à (2). Comme x et x' sont respectivement fonction de t et t', cela est le cas si et seulement si :

x' - ct' = k ( x - ct)

On aura de la même manière, pour un signal lumineux se déplaçant en sens inverse : x' + ct' = m (x' - ct') k et m désignent ici des constantes. Additionnons et soustrayons maintenant ces deux équations :

x'-ct' = k (x - ct)	x' - ct' = k (x - ct)
x' + ct' = m (x + ct)	x' + ct' = m (x + ct)
----------------------	-------------------------
2 x' = kx - kct + mx + mct	2 ct' = mx + mct - kx + kct
2 x' = (k + m) x - (k - m) ct	2 ct' = (k + m) ct - (k- m) x
x' = [ (k + m) / 2] x - [ (k - m) / 2] ct	ct' = [ (k + m)/ 2] ct - [ (k - m) / 2] x

On introduit, par commodité, les constantes a et b telles que :

a = (k + m) / 2

b = (k - m) / 2

On réécrit les deux équations :

x' = a x - bct (3)

ct' = act - bx (3)

Le problème serait ainsi résolu, si les constantes a et b étaient connues : on pourrait alors exprimer x' et t' en fonction de x et de t.

Pour trouver la vitesse relative v des deux systèmes S et S', on prend un point particulier du système S', par exemple x' = 0 pour simplifier. D'après la première des équations (3) on a alors :

a x - bct = 0

a x = bct

x = bct / a

Comme v = x / t on a alors :

v = bc / a

On obtiendrait la même valeur de v pour tout autre point de S', ou encore en calculant la vitesse de S par rapport à S' (et non celle de S' par rapport à S comme ici).

Rappelons- nous maintenant notre second postulat : la mesure d'une règle de mesure unité située en S' à partir de S, sera équivalente à la mesure d'une règle de mesure unité en S effectuée à partir de S'.
Pour l'utiliser, prenons un instantané des systèmes S' et S.

Instantané en S :

On prend une valeur déterminée de t, par exemple t = 0.

A partir de la première équation (3) on a :

x' = a x

soit

x = x' / a

On choisit deux points de l'axe x' séparés d'une mesure unité : x' et (x' - 1).

On a bien :

" x' = x' - (x' - 1)

" x' = 1
On a alors
" x = " x' / a

" x = 1 / a (4)

Instantané en S' :

On prend une valeur déterminée de t', par exemple t' = 0. D'après la seconde équation (3), on a alors :

act - bx = 0

act = bx

t = (b / ac) x

En substituant t à son expression dans la première équation (S), on obtient :

x' = a x - ( bcbx / ac)

x' = a x - (b²cx / ac)

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième partie de l'équation pour faire apparaître la valeur ( b²c² / a²), qui correpond au carré de la vitesse relative (v = bc / a) des deux systèmes.

x' = a x - (b²c² / a²) (ax / c²)

x' = ax - (a x v² / c²)

x' = ax (1 - v² / c²)

On en conclut que deux points de l'axe des x, séparés (relativement à S) par la distance 1, seront séparés sur l'instantané par la distance :
" x' = a (1 - v² / c²) (5)

(On prend pour cela x = 1)

La seconde hypothèse de départ postule que les distances mesurées sur ces deux instantanés sont égales. On a donc, d'après (4) et (5) :

" x = " x'
On développe :
1 / a = a (1 - v² / c²)

a² (1 - v² / c²) = 1

a² = 1 / (1 - v²/ c²)

a = 1 / √ (1 - v² / c²)
a ne peut pas être négatif pour les besoins d'une réalité physique, une distance étant toujours positive. Calculons maintenant b : on a vu que la vitesse relative était donnée par : v = bc / a On a donc : b = va / c soit, en reprenant la valeur de a trouvée ci-dessus : b = v / [ c √(1 - v² / c²)]
Les constantes a et b sont trouvées! Il ne reste plus qu'un dernier petit effort pour parvenir aux équations de Lorentz : porter les valeurs de ces constantes dans les deux équations (3).