LES
TROUS NOIRS
VI
La Relativité Générale d'Einstein
Attention! Cette partie s'inscrit dans la suite logique de La Relativité Restreinte. Contrairement à toutes les autres parties de ce site, il est nécessaire de maîtriser au préalable ce chapitre sur la Relativité, où sont expliquées les équations de la transformation de Lorentz, avant d'entamer la lecture de celle-ci...
I introduction
Les équations
de Lorentz, démontrées dans la partie précédente,
impliquent plusieurs effets, tels que la dilatatation des durées
ou la contraction des longueurs. Ces effets sont d'une importance capitale
sur les trous noirs, car on les y retrouve, poussés à l'extrême.
Ainsi, le ralentissement du temps au niveau de l'horizon d'un trou noir
est, d'après la Relativité, infini, c'est-à-dire que
le temps s'arrête! (voir partie Ralentissement
du temps). L'effet Doppler est lui aussi touché par ces effets,
et de manière non négligeable : on distingue de fait un effet
Doppler classique et un effet Doppler relativiste. Et c'est ce même
effet qui nous permet d'imaginer la vision qu'un observateur pourrait avoir
d'un trou noir! (Cf. Partie Effet Doppler).
La Relativité, on le voit, tient une part d'importance non négligeable pour tout ce qui touche aux trous noir; c'est ce qui nous a poussés à la développer dans le cadre de notre travail, et ce dans sa totalité, afin que le non-initié puisse lui aussi y accéder, et acquérir au passage de nouveaux savoirs.
II Ralentissement du temps
La notion de temps absolu a été abandonné par la Relativité Restreinte. Il faut logiquement s'attendre à ce que la mesure des durées soit aussi modifiée par le mouvement. Pour le montrer, considérons une horloge immobile par rapport à un référentiel S. Pour simplifier, on la place à l'origine, soit au point x = 0, y = 0, z = 0. Entre deux battements successifs de l'horloge, 1 seconde s'écoule en S. Mais la mesure de cette durée sera différente pour un observateur lié au référentiel S' en translation rectilgne uniforme par rapport à S :
On prend t1 = 0 et t2 = 1.
D'après la quatrième équation de Lorentz, on a alors :
t1' = 0
t2' = 1 / √ ( 1 - v² / c²)
En règle générale, on dira que pour tout référentiel en mouvement, le temps est ralenti du facteur :
On vérifie facilement que cet effet de ralentissement est réciproque : un observateur en S trouvera qu'entre deux tacs de l'horloge sur S' il s'écoulera 1 / √ ( 1 - v² / c²) seconde en S.
III Effet Doppler Classique et Relativiste
1) Effet Doppler classique
Qu'est-ce que l'effet Doppler classique?
C'est une modification de la longueur d'onde perçue par un observateur quand la source émettrice est en mouvement.
Les conséquences de l'effet Doppler-Fizeau sont perceptibles par tous: lorsqu'une voiture se rapproche à toute vitesse d'un observateur, le son perçu par celui-ci est plus aigu (longueur d'onde raccourcie : fréquence plus élevée); tandis que lorsqu'elle s'éloigne, le son paraît plus grave (longueur d'onde allongée : fréquence plus basse).
En effet, lorsqu'une source émettrice d'ondes (voiture ou galaxie) se rapproche de nous, les ondes se "tassent" dans le sens du mouvement ; par conséquent leur fréquence augmente et le son devient plus aigu ou, dans le cas des galaxies, la lumière se décale vers le bleu.
Inversement si la source s'éloigne de nous, la lumière "fuit", par conséquent sa longueur d'onde augmente et le son paraît plus grave ou la lumière se décale vers le rouge. (Voir partie Effet Doppler).
On montre, en physique, que si λ est la longueur d'onde du rayonnement émis par la source (qui se déplace à la vitesse v), alors l'observateur trouvera une longueur d'onde λ' telle que :
Démonstration :
On considère une source lumineuse quelconque se déplaçant à une vitesse v, perpendiculairement à un observateur et en s'éloignat de celui-ci.
On note T la période (inverse de la fréquence) de l'onde émise. A l'instant t1 = 0, la source, qui est à une distance d0 de l'observateur, émet sa première longueur d'onde (premier maximum des maxima successifs du rayonnement émis). L'observateur reçoit ce premier signal à t1' = d0 / c seconde.
A l'instant t2 = T, la source émet son second signal (deuxième longueur d'onde, deuxième maximum du rayonnement). Mais pendant cet intervalle, la source a parcouru une distance d1 = v * T . L'observateur reçoit donc ce signal à l'instant t2' = T + (d0 + d1)/c.
L'observateur calcule dès lors une période T ' = t2' - t1'
= T + (d0 + d1) / c - d0 / c
= T + d1 / c
= T + (v * T / c)
Donc la longueur d'onde λ' = v * T ' sera :
= λ ( 1 + v / c)
2) Effet Doppler Relativiste
Mais, on l'a vu avant, le temps est soumis à un ralentissement pour un référentiel en mouvement. Ce ralentissement est de t = 1 / √ ( 1 - v² / c²).
Donc à l'effet Doppler classique va se superposer un effet Doppler relativiste, quasiment inexistant à faible vitesse (v<<c) mais non négligeable pour des hautes vitesse.
La formule pour l'effet Doppler relativiste est :
λ' est la longueur d'onde décalée, λ la longueur d'onde émise, c la vitesse de la lumière, v la vitesse de la source.
Démonstration :
On a montré (voir ci-dessus) qu'on pouvait également exprimer l'effet Doppler sous la forme : T ' = T + (v * T) / c.
T ' = T ( 1 + v / c)
Mais le temps est ralenti, pour l'observateur, du facteur 1 / √ ( 1 - v² / c²) . On a donc en réalité :
T ' / T = ( 1 + v / c) / √ ( 1 - v² / c²) ]
(T ' / T) ² = (1 + v / c) ² / (1 - v² / c²)
= (v² / c² + 2 v / c + 1) / (1 - v² / c²)
= [ (v² + 2 c v + c²) / c²] / [(c² - v²) / c²]
= (v² + 2 c v + c²) / (c² - v²)
= (v + c) ² / (c + v) (c - v)
= (c + v) / (c - v)
Donc
On ne change pas une fraction en multipliant numérateur et dénominateur par la même variable, donc
Comme λ = vT et λ' = vT ',
(T ' / T) = (λ' / λ)
Donc